Question

13．求函数y=-sin²x-cosx+2，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 先可将原函数变成y=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，而由x的范围，根据余弦函数的图象可求出cosx的范围，通过上面函数解析式即可求出原函数的最大值，最小值，从而求出其值域．

解答 解：y=-sin²x-cosx+2=cos²x-cosx+1=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$；x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cosx∈[0，1]；
∴cosx=$\frac{1}{2}$时，原函数取最小值$\frac{3}{4}$；
cosx=1时，原函数取最大值1；
∴原函数的值域为：[$\frac{3}{4}$，1]．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，1]．

点评 本题考查配方法求函数的最值，从而求出函数的值域，以及对余弦函数图象的掌握，根据余弦函数的图象求余弦函数的范围．