Question

已知函数f（x）=x²+2x-a，方程f（f（x））=0有不等的4个实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=t，则得到f（t）=t²+2t-a=0，该方程应有两个根，所以得到a＞-1，该方程的两个实根设为t₁，t₂，所以t1=-1+

1+a

，t2=-1-

1+a

，所以得到方程x2+2x-a=-1+

1+a

，或x2+2x-a=-1-

1+a

，这两个方程都有两个不等实根，所以根据判别式△＞0即可求得a的取值范围．

解答： 解：令f（x）=t，则方程f（t）=t²+2t-a=0，有两个不等实根；
∴△=4+4a＞0，a＞-1；
且t1=-1+

1+a

，t2=-1-

1+a

；
∴f(x)=x2+2x-a=-1+

1+a

   ①，或f（x）=x2+2x-a=-1-

1+a

   ②；
∴（1）由①得x2+2x-a+1-

1+a

=0，则该方程有两个不等实根；
∴△=4-4(1-a-

1+a

)＞0，整理得

1+a

＞-a；
显然a≥0时，不等式成立；
a＜0时，两边平方后得到：a²-a-1＜0，解得，

1- 5

2

＜a＜0；
∴a＞

1- 5

2

；
（2）同理由②可求得a＞

1+ 5

2

；
∴综上得a＞

1+ 5

2

；
∴a的取值范围为(

1+ 5

2

，+∞)．

点评：考查一元二次方程解的情况和判别式△的关系，以及解无理不等式的方法：两边平方去根号，及解一元二次不等式．