Question

将边长为l的三个正方形面板粘合成一个空间图形，其水平放置的直观图如图所示．
（1）若E、F分别是A₁B₁、BB₁的中点，试判断D₁E与CF是否共面，并说明理由；
（2）以此空间图形为盛水容器，如果能保证粘合处都不漏水，那么此容器最多能盛多少体积的水？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结EF，CD₁，A₁B，由已知得A₁D₁CB是平行四边形，由此能证明D₁E与CF共面．
（2）最多能盛水的容积等于三棱锥C₁-B₁D₁C的体积．

解答： 解：（1）如图，连结EF，CD₁，A₁B，
∵E、F分别是A₁B₁、BB₁的中点，∴EF∥A₁B，…（2分）
∵A₁D₁

∥

.

B₁C₁，B₁C₁

∥

.

BC，∴A₁D₁

∥

.

BC，…（3分）
∴A₁D₁CB是平行四边形，∴A₁B∥CD₁，…（4分）
∴EF∥CD₁，…（6分）
∴EF，CD₁共面，即E，F，C，D₁四点共面，
故D₁E与CF共面．…（8分）
（2）依题意可知，
最多能盛水的容积等于三棱锥C₁-B₁D₁C的体积…（10分）
∴V=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．…（12分）

点评：本题考查两直线是否共面的判断，考查容器最多能盛多少体积的水的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．