Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1）．
（1）设a=2，函数f（x）的定义域为（3，63），求函数f（x）的最值；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）将a=2可确定函数的单调性，由单调性求最值；
（2）由题意，化为函数值比较大小，讨论a的取值以确定单调性．

解答： 解：（1）当a=2时，
f（x）=log₂（1+x）在[3，63]上为增函数，
∴当x=3时，f（x）有最小值为2，
当x=63时，f（x）有最大值为6．
（2）f（x）-g（x）＞0即f（x）＞g（x），
当a＞1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），即1+x＞1-x＞0，
∴0＜x＜1；
当0＜a＜1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），即0＜1+x＜1-x，
∴-1＜x＜0；
综上所述：a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}；
0＜a＜1时解集为{x|-1＜x＜0}．

点评：本题考查了对数函数的单调性与最值，同时考查了单调性的应用，属于基础题．