Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，PA=2，AD=4，二面角B-PC-D的正切值为（　　）

• A、-

  3

  4

• B、-

  3

• C、-2

  3

• D、-

  4

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的正切值．

解答： 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
∵底面ABCD为矩形，∴底面ABCD为正方形，
∵PA=2，AD=4，∴B（4，0，0），C（4，4，0），
P（0，0，2），D（0，4，0），

PB

=(4，0，-2)，

PC

=(4，4，-2)，

PD

=(0，4，-2)，
设平面BPC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =4x-2z=0 n • PC =4x+4y-2z=0

，取x=1，得

n

=(1，0，2)，
设平面PCD的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • PC =4a+4b-2c=0 m • PD =4b-2c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

5

，
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
∵二面角B-PC-D的平面角为钝角，∴cosθ=-

4

5

，
∴tanθ=-

3

4

．
∴二面角B-PC-D的正切值为-

3

4

．
故选：A．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．