Question

已知三角形三边长恰是三个连续正整数，其周长和面积分别为p₁，S₁，将三边都增加10后得到新的三角形周长和面积分别为p₂，S₂，若p₁p₂=S₁S₂，求原三角形最小角的正弦值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：应用题,解三角形

分析：设出原三角形的三边长分别为：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺），求出三角形的周长和面积；
根据已知条件列出方程，解方程求出n的值，由此得出原三角形的三边长，再求出最小角的正弦值即可．

解答： 解：设原三角形的三边长分别为：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺），
则周长p₁=3n，p₂=3n+30；
∴由海伦公式得三角形的面积为
s₁=

3n 2 ．( 3n 2 -n+1)( 3n 2 -n)( 3n 2 -n-1)

=

n

4

3(n+2)(n-2)

，
同理，s₂=

n+10

4

3(n+12)(n+8)

；
∵p₁p₂=S₁S₂，
∴3n•（3n+30）=

n

4

3(n+2)(n-2)

•

n+10

4

3(n+12)(n+8)

，
解得n=4，
∴原三角形的三边长分别是3，4，5；
∵3²+4²=5²，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形最小角的正弦值是

3

5

．

点评：本题考查了三角形中基本的边角关系是什么，解题的关键应用海伦公式求出面积，是中档题．