Question

求微分方程y″-2y′-3y=e^-x的一个特解．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：二阶微分方程y″+3y′+2y=0的特征方程为：r²-2r-3=0，其特征根为：r₁=3，r₂=-1，由于e^-x的λ=-1，是对应特征方程的单根，由微分方程的性质可知：特解的形式为：Axe^-x，再利用导数的运算法则即可得出．

解答： 解：二阶微分方程y″+3y′+2y=0的特征方程为：r²-2r-3=0，
其特征根为：r₁=3，r₂=-1，
由于e^-x的λ=-1，是对应特征方程的单根，
由微分方程的性质可知：特解的形式为：Axe^-x
将特解代入原方程得：
-2Ae^-x+Axe^-x+Ae^-x-Axe^-x+2Ae^-x=e^-x
即：-4A=1
A=-

1

4

．
特解的为：-

1

4

xe^-x．

点评：本题考查了微分方程的性质、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．