题目内容
15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$mcos2x+（m-2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f（x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（ ）| A． | -$\frac{1}{4}$ | B． | 1 | C． | 3-$\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{3}$-1 |
分析 利用二倍角公式化简f（x），转化为二次函数问题求解函数f（x）的最大值g（m），可得g（m）的表达式，利用基本不等式即可求出g（m）的最小值．
解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$mcos2x+（m-2）sinx，
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$m（1-2sin2x）+（m-2）sinx=$\frac{1}{2}$m-msin2x+（m-2）sinx=$\frac{1}{2}$m-[msin2x+（2-m）sinx]，
令y=msin2x+（2-m）sinx，
∵1≤m≤2，开口向上，
对称轴sinx=$\frac{m-2}{2m}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sinx≤0．
故当sinx=$\frac{m-2}{2m}$时，f（x）取得最大值为g（m）=$\frac{1}{2}m$-m×（$\frac{m-2}{2m}$）2+（m-2）×$\frac{m-2}{2m}$=$\frac{3}{4}m+\frac{1}{m}-1$．
由$\frac{3}{4}m+\frac{1}{m}-1$$≥2\sqrt{\frac{3}{4}m×\frac{1}{m}}-1$=$\sqrt{3}-1$，（当且仅当$\frac{3}{4}m=\frac{1}{m}$，即m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时取等号）
故得g（m）的最小值为：$\sqrt{3}-1$．
故选：D．
点评 本题考查了二次函数的最值问题和三角函数化简转化思想．基本不等式的运用，属于中档题．
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| A． | $\sqrt{3}$x+y-7=0 | B． | $\sqrt{3}$x-y+7=0 | C． | x+$\sqrt{3}$y-7=0 | D． | x-$\sqrt{3}$y-7=0 |
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20．已知集合A={x|x∈N|2≤x≤5}，B={x|y=$\sqrt{3-x}$}，则A∩B=（ ）
| A． | {2} | B． | {2，3} | C． | {2，3，4} | D． | {4，5} |
4．要得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（ ）
| A． | 向左平移$\frac{π}{12}$个单位 | B． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | ||
| C． | 向右平移$\frac{π}{12}$个单位 | D． | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位 |