题目内容

【题目】如图，在三棱锥中， 是正三角形，面面， ， ， 和的重心分别为， .

（1）证明： 面；

（2）求与面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取中点，连结，由重心性质可得， ，推导出出，即可证明面；（2）以中点为原点，建立空间直角坐标系，由及，推导出及，再根据条件写出， ， ，然后求出面的一个法向量，即可求出与面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，由重心性质可知， 分别在， 上且， ，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

∵，

∴

∴，

又由条件， ， ，

∴， ， .

设面的法向量为，则

取，则∴，

∴，即所求角的正弦值为.

练习册系列答案
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（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）设，求的最大值．

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（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；

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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.

分组

频数

频率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30]

2

0.05

合计

M

1

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；

(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．

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