Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）设，求的最大值．

（Ⅲ）证明函数的图像与直线没有公共点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）由导数的定义知， ，求得， ；（2）， 在上单调递增，在上单调递减， 在的最大值为；（3）函数的图像与直线没有公共点等价于，等价于，即，通过求导可证。

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，

由题意可得， ，

故， ．

（Ⅱ），则，

当时， ，当时， ，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在的最大值为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

∴函数的图像与直线没有公共点等价于，

而等价于，

设函数，则，

∴当时， ，

当时， ，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在的最小值为，

综上，当时， ，

即，

故函数的图像与直线没有公共点．