Question

【题目】如下图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，，分别是，的中点.

（I）证明：平面；

（II）取，在线段上是否存在点，使得与平面所成最大角的正切值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）存在且.

【解析】

试题分析：（I）先证明，再证明，所以有平面，所以，所以平面；（II）设线段上存在一点，连接，.由（I）知，平面，则为与平面所成的角.当最短时，即当时，最大，此时.

试题解析：

证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，

因为为的中点，所以.

又，因此.

因为平面，平面，

所以.

而平面，平面，，

所以平面.

（II）解：设线段上存在一点，连接，.

由（I）知，平面，

则为与平面所成的角.

在中，，

所以当最短时，即当时，最大，

此时，因此.

所以，线段上存在点，

当时，使得与平面所成最大角的正切值为.