Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-1，2]，且函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$处都取得极值．
（I）求实数a与b的值；
（II）对任意x∈[-1，2]，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x），由题意函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$处都取得极值．列出方程求解即可．
（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），求出极值，列出不等式求解即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b…（1分）
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}f'（{-\frac{2}{3}}）=0\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$…（5分）
经检验，适合条件，所以$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$…（6分）
（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，…（7分）
由（1）知f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），…（8分），
令（3x+2）（x-1）=0，可得x=-$\frac{2}{3}$，x=1；
x∈[-1，2]，当x∈（-1，-$\frac{2}{3}$），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，
x∈（-$\frac{2}{3}$，1）时，函数是减函数，
函数的极大值为：f（-$\frac{2}{3}$）=c+$\frac{22}{27}$，f（2）=2+c＞c+$\frac{22}{27}$      
极小值为：f（1）=-$\frac{3}{2}$+c，f（-1）=$\frac{1}{2}+c$＞$-\frac{3}{2}+c$              …（11分）
∴x∈[-1，2]时，
可得$c+\frac{1}{2}≤2c＜c+\frac{22}{27}$，∴$\frac{1}{2}≤c＜\frac{22}{27}$…（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的端点函数值的关系，考查转化思想，难度比较大．