Question

17．（Ⅰ）解不等式|x-1|+|2x+1|＞3
（Ⅱ）如果a，b∈[-1，1]，求证|1+$\frac{ab}{4}$|＞|$\frac{a+b}{2}$|

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，解不等式，取交集即可；（Ⅱ）根据分析法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-1|+|2x+1|＞3，
x≥1时，x-1+2x+1＞3，解得：x＞1，
-$\frac{1}{2}$＜x＜1时，1-x+2x+1＞3，无解，
x≤-$\frac{1}{2}$时，1-x-2x-1＞3，解得：x＜-1
故不等式的解集是{x|x＜-1或，x＞1}；
（Ⅱ）若证明|1+$\frac{ab}{4}$|＞|$\frac{a+b}{2}$|，
只需${（1+\frac{ab}{4}）}^{2}$＞${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，
只需1+$\frac{ab}{2}$+$\frac{{（ab）}^{2}}{16}$＞$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{ab}{2}$+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
只需1+$\frac{{（ab）}^{2}}{16}$＞$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{4}$，
只需16+a²b²＞4（a²+b²），
∵a，b∈[-1，1]，
∴a²b²∈[0，1]，a²+b²∈[0，2]，
故16+a²b²＞4（a²+b²）成立，
故a，b∈[-1，1]时，|1+$\frac{ab}{4}$|＞|$\frac{a+b}{2}$|．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．