Question

9．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由sinA+sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）=-sinBcosC，展开化为：2sinBcosC=-cosBsinC，因此2tanB=-tanC，由tanA=-tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出答案．

解答 解：由sinA+sinBcosC=0，
得$\frac{sinA}{sinB}=-cosC＞0$，
∴C为钝角，A，B为锐角且sinA=-sinBcosC．
又sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=-sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=-sinBcosC，
∴2sinBcosC=-cosBsinC
∴2tanB=-tanC
∴tanA=-tan（B+C）
=$\frac{-（tanB+tanC）}{1-tanBtanC}$=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$
=$\frac{1}{2tanB+\frac{1}{tanB}}$，
∵tanB＞0，根据均值定理，$2tanB+\frac{1}{tanB}≥2\sqrt{2tanB•\frac{1}{tanB}}=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2tanB+\frac{1}{tanB}}≤\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当$tanB=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴tanA的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．