Question

记满足如下三个性质的函数称为l型函数：
①对任意a，b属于R，都有g（a+b）=g（a）g（b）；
②对任意x属于R，g（x）＞0；
③对任意x＞0，g（x）＞1．
已知函数y=g（x）为l型函数．
（1）求 g（x）•g（-x）的值；
（2）证明当x＜0时，g（x）＜1，且函数y=g（x）在R上单调递增．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数思想,方程思想

分析：（1）a=b=0，求解即可，注意舍去g（0）=0，
（2）当a=x，b=-x时，g（0）=g（x-x）=g（x）g（-x）=1，转化g（x）•g（-x）=1，g（x）=

1

g(-x)

求解．
（3）运用当x＜0时，即-x＞0时，g（-x）＞1，

1

g(x)

＞1，得出当x＜0时，0＜g（x）＜1，
构造（x₁）=g（x₁-x₂+x₂）=g（x₁-x₂）g（x₂）＞g（x₂），证明单调性即可．

解答： 解：（1）∵对任意a，b属于R，都有g（a+b）=g（a）g（b）；
∴g（0）=g²（0），
g（0）=0，g（0）=1，
∵对任意x属于R，g（x）＞0；
∴g（0）=1，
当a=x，b=-x时，g（0）=g（x-x）=g（x）g（-x）=1，
g（x）•g（-x）=1，
（2）当x＜0时，-x＞0，
∵对任意x＞0，g（x）＞1．
∴当x＜0时，即-x＞0时，g（-x）＞1，

1

g(x)

＞1，
∵对任意x属于R，g（x）＞0；
∴当x＜0时，0＜g（x）＜1，
∵设x₁＞x₂，x₁-x₂＞0，g（x₁-x₂）＞1
∴g（x₁）=g（x₁-x₂+x₂）=g（x₁-x₂）g（x₂）＞g（x₂），
∴g（x₁＞g（x₂），
即函数y=g（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了抽象函数的单调性，求解有关变量的取值问题，赋值思想的运用，属于中档题，注意构造变量运用条件．