Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆上的点到焦点的最近距离为

3

，其左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与F₂重合．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）过F₁作抛物线的两条切线，求切线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的焦距为2c，利用离心率，列出方程，通过a-c=

3

，求解abc，可得椭圆的方程．抛物线的方程．（2）设过F₁的切线方程为y=k（x+

3

），联立直线与抛物线方程，利用△=0，解得k=1或-1，可得抛物线的两条切线的方程．

解答： 解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由椭圆的离心率可得

c

a

=

a2-b2

a

=

1

2

，
故a=2c，b²=

3

4

a²．
又由条件可知a-c=

3

，故a=2

3

，c=

3

，b²=

3

4

×12=9，
故椭圆的方程为

x2

12

+

y2

9

=1．
则F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），由条件可知抛物线的焦点坐标为F₂（

3

，0），即

p

2

=

3

，
故抛物线的方程为y²=4

3

x．（6分）
（2）设过F₁的切线方程为y=k（x+

3

），
由

y=k(x+ 3 ) y2=4 3 x

可得k²x²+（2

3

k²-4

3

）x+3k²=0，
则△=（2

3

k²-4

3

）²-12k⁴=0，解得k=1或-1，
故抛物线的两条切线的方程分别为y=x+

3

与y=-x-

3

．（12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，椭圆方程的求法，抛物线方程的求法，考查计算能力．