Question

14．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$均为单位向量，其夹角为θ，若$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|＞1$，则θ的取值范围为（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．

Answer 1

分析 运用向量的数量积定义求得向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的数量积，再由平方法，向量的平方即为模的平方，再由余弦函数的单调性即可得到范围．

解答 解：由于$\overrightarrow a，\overrightarrow b$均为单位向量，其夹角为θ，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×1×cosθ=cosθ，
由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＞1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²＞1，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞1，
即1+1+2cosθ＞1，即cosθ＞-$\frac{1}{2}$，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＞1，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²＞1，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞1，
即1+1-2cosθ＞1，即cosθ＜$\frac{1}{2}$，
综上可得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜$\frac{1}{2}$，
由于0≤θ≤π，
解得$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$．
则θ的取值范围为（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．
故答案为：（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查余弦函数的性质及运用，考查运算能力，属于中档题．