Question

3．设函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=1．

Answer 1

分析 先通过函数的值域求出a、b的范围，再根据函数f（x）在[0，+∞）上是单调性建立方程组，进行求解即可．

解答 解：因为f（x）=|2^x-1|的值域为[a，b]，
所以b＞a≥0，
而函数f（x）=|2^x-1|在[0，+∞）上是单调递增函数，
即f（x）=2^x-1，
因为函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（a）={2}^{a}-1=a}\\{f（b）={2}^{b}-1=b}\end{array}\right.$，
因此应有，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以有a+b=1．
故答案为：1

点评 本题主要考查函数定义域和值域的求解和应用，根据条件将函数进行化简，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．