题目内容
11．已知等比数列{an}的公比q＞1，且满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=anlog${\;}_{\frac{1}{2}}$an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．
分析 （1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项a1和公比q表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；
（2）求出bn的表达式后，要求其前n项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．
解答 解：（1）∵由a3+2是a2、a4的等差中项，得a2+a4=2（a3+2），
因为a2+a3+a4=28，所以a2+a4=28-a3，
所以2（a3+2）=28-a3，解得a3=8，
所以a2+a4=20，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}\\}\end{array}\right.$，
又{an}为递增数列，所以q＞1．
所以a1=2，q=2，所以an=2n．
（2）∵bn=anlog${\;}_{\frac{1}{2}}$an=2n．nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$2n═-n•2n．
Sn=b1+b2+…+bn=-（1×2+2×22+…+n×2n）①
则2Sn=-（1×22+2×23+…+n×2n+1）②
②-①，得Sn=（2+22+…+2n）-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
即数列{bn}的前项和Sn=2n+1-2-n•2n+1，
则Sn+n•2n+1=2n+1-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值为6．
点评 本题主要考查等比数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的前n项和，考查学生的运算能力．
| A． | 2n2+2n | B． | n2+2n | C． | 2n2+n | D． | 2（n2+2n） |
| A． | $\frac{4}{3}$ | B． | 1 | C． | 2 | D． | -1 |
| A． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | B． | [1，+∞） | C． | （0，$\frac{1}{2}$ ） | D． | （0，1] |
如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为$4（\sqrt{2}+1）$，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．