Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P为椭圆上一点，若∠PF₁F₂=$\frac{5π}{6}$，求△PF₁F₂的面积；
（3）若P为椭圆上一点，且∠F₁PF₂为钝角，求P点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）F₁（-1，0），由$∠P{F_1}{F_2}=\frac{5π}{6}$，可得${k}_{P{F}_{1}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．直线PF₁方程为：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．与椭圆方程联立化为：7y²+2$\sqrt{3}$y-3=0，解出y_P．可得△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}|{y}_{P}|$•2c=|y_P|．
（3）设P（x₀，y₀），（-2＜x₀＜2）．则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1．由∠F₁PF₂为钝角，可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$$•\overrightarrow{{F}_{2}P}$＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，又a²=b²+c²，联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）F₁（-1，0），∵$∠P{F_1}{F_2}=\frac{5π}{6}$，∴${k}_{P{F}_{1}}$=$tan\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线PF₁方程为：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：7y²+2$\sqrt{3}$y-3=0，
解得y=$\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{7}$，或y=$\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{3}}{7}$．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}|{y}_{P}|$•2c=|y_P|=$\frac{2\sqrt{6}±\sqrt{3}}{7}$．
（3）设P（x₀，y₀），（-2＜x₀＜2）．则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1．
∵∠F₁PF₂为钝角，∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$$•\overrightarrow{{F}_{2}P}$＜0，
∴${x}_{0}^{2}-3$+${y}_{0}^{2}$＜0，
∴${x}_{0}^{2}-3$+1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$＜0，
化为：${x}_{0}^{2}$$＜\frac{8}{3}$，又-2＜x₀＜2，
解得$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴P点横坐标的取值范围为$（-\frac{2\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．