Question

椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一动点P到直线y=-x+10的最远距离为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设与直线y=-x+10平行的椭圆的切线为y=-x+t，与椭圆方程联立可得13x²-18tx+9t²-36=0．利用△=0解得t，再利用平行线之间的距离公式即可得出．

解答： 解：设与直线y=-x+10平行的椭圆的切线为y=-x+t，
联立

y=-x+t x2 9 + y2 4 =1

，化为13x²-18tx+9t²-36=0．
∵△=0，∴324t²-52（9t²-36）=0，
解得t=±

13

．
取t=-

13

，
∴切线为y=-x-

13

与直线y=-x+10的距离d=

10+ 13

2

=

26 +10 2

2

．
∴椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一动点P到直线y=-x+10的最远距离为

26 +10 2

2

．
故答案为：

26 +10 2

2

．

点评：本题考查了直线与椭圆相切转化为方程联立与判别式的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．