Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC分别交于点D，E，且DF⊥AC于F．若CD=3，EA=$\frac{7}{5}$，则EF的长为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，于是可判断OD∥AC，由于DF⊥AC，所以OD⊥DF，得到DF为⊙O的切线，连接DE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠DEF=∠C，求得DE=DC，推出CF=EF，通过△CDF∽△CAD，利用切割线定理即可得到结论．

解答 解：连接OD，AD，
∵AB=AC，AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于F，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
连接DE，则∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEF=∠C，
∴DE=DC，
∴CF=EF，
∵CD=3，EA=$\frac{7}{5}$，
∴9=DF²+CF²，DF²=CF•（EF+$\frac{7}{5}$）
∴EF=$\frac{9}{5}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．