Question

4．已知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，求$\frac{sin（\frac{3π}{2}+α）tan（α-5π）cos（\frac{π}{6}-α）}{sin（\frac{π}{3}+α）}$的值．

Answer 1

分析 由已知等式两边平方，可求2sinαcosα的值，结合α的范围，进而可求sinα-cosα的值，联立可求sinα的值，利用诱导公式化简所求即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：∵sinα+cosα=$\frac{7}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，------（1分）
∴2sinαcosα=$\frac{24}{25}$．--------（2分）  
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{24}{25}$=$\frac{1}{25}$．-----（3分）
又α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，---------（4分）
∴sinα=$\frac{4}{5}$，---------（6分）
∴$\frac{sin（\frac{3π}{2}+α）tan（α-5π）cos（\frac{π}{6}-α）}{sin（\frac{π}{3}+α）}$=$\frac{-cosα•tanα•cos（\frac{π}{6}-α）}{cos（\frac{π}{6}-α）}$=-sinα=-$\frac{4}{5}$．---------（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．