Question

2．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，PA=PB=2$\sqrt{2}$．若点N在线段PD上，且PN=kPD（0＜k＜1），平面BCN与PA相交于点M．
（1）求证：AD∥MN；
（2）当k=$\frac{1}{4}$时，求直线BN与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD∥MN，只需证明AD∥平面BCN；
（Ⅱ）延长DA，过B作BQ⊥AD于Q，连接QN得∠BNQ即直线BN与平面PAD所成的角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD∥BC，BC?平面BCN，AD?平面BCN，
∴AD∥平面BCN，…（3分）
又AD?平面PAD，平面PAD∩平面BCN=MN，
∴AD∥MN…（5分）
（Ⅱ）解：延长DA，过B作BQ⊥AD于Q，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BQ，从而BQ⊥平面PAD，
连接QN得∠BNQ即直线BN与平面PAD所成的角，…（7分）
∵PD=4，底面ABCD为菱形且∠BAD=120°，
∴$AQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}$，$BQ=\sqrt{6}$，
∴$QD=3\sqrt{2}$，
当k=$\frac{1}{4}$时，PN=kPD=$\frac{1}{4}$×4=1，
PN=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
∴ND=4-1=3，
∴△QDN中，QN=$\sqrt{Q{D}^{2}+N{D}^{2}-2QD•NDcos45°}$=${\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}-2×3\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}}}^{\;}$=$\sqrt{18+9-18}=\sqrt{9}$=3，（11分）
则BN=$\sqrt{B{Q}^{2}+Q{N}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18+9}=\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$，
则sin∠BNQ=$\frac{BQ}{BN}$=$\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$…（14分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，以及线面角的求解，根据线面角的定义作出线面角的平面角是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大．