Question

6．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励全市30万居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，并希望约80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值，并估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数；
（2）若每组内部，用水量视为均匀分布，估计x的值（精确到0.1）．

Answer 1

分析 （1）利用频率和为1即可得出．
（2）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.15+0.3+0.4+0.52）；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3），通过比较即可得出．

解答 解：（1）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，
∴a=0.3．…（3分）
由图可得月均用水量不低于3吨的人数为：0.5×（0.12+0.08+0.04）×30=3.6．
∴全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；…（6分）
（2）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：
0.5×（0.08+0.15+0.3+0.4+0.52）=0.73＜0.8；
月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞0.8；…（9分）
则x=2.5+0.5×$\frac{0.80-0.73}{0.3×0.5}$≈2.7吨…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．