Question

8．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试．学生甲三轮考试通过的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，且各轮考核通过与否相互独立．
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金．记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲通过该高校自主招生考试的概率．
（2）由题意得X的可能取值为0，100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由题意得甲通过该高校自主招生考试的概率：
p=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）由题意得X的可能取值为0，100，200，300，
P（X=0）=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=100）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{6}$，
P（X=200）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{1}{10}$，
P（X=300）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列为：

X	0	100	200	300
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$

EX=$0×\frac{1}{3}+100×\frac{1}{6}+200×\frac{1}{10}+300×\frac{2}{5}$=$\frac{470}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．