Question

19．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））≥0．当x∈[0，1]时，2f（$\frac{x}{5}$）=f（x），f（x）=1-f（1-x），则f（-$\frac{290}{2016}$）+f（-$\frac{291}{2016}$）+…+f（-$\frac{314}{2016}$）+f（-$\frac{315}{2016}$）=（　　）

• A． -$\frac{11}{2}$
• B． -6
• C． -$\frac{13}{2}$
• D． -$\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由f（x）=1-f（1-x），得 f（1）=1，确定f（$\frac{290}{2016}$）=$\frac{1}{4}$，利用f（x）是奇函数，即可得出结论．

解答 解：由f（x）=1-f（1-x），得 f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵当x∈[0，1]时，2f（$\frac{x}{5}$）=f（x），
∴f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
即f（$\frac{1}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{1}{25}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{5}$）=14，
f（$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=14，
∵$\frac{1}{25}$＜$\frac{290}{2016}$＜$\frac{1}{10}$，
∵对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））≥0
∴f（$\frac{290}{2016}$）=$\frac{1}{4}$，
同理f（$\frac{291}{2016}$）=…=f（-$\frac{314}{2016}$）=f（$\frac{315}{2016}$）=$\frac{1}{4}$．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-$\frac{290}{2016}$）+f（-$\frac{291}{2016}$）+…+f（-$\frac{314}{2016}$）+f（-$\frac{315}{2016}$）
=-[f（-$\frac{290}{2016}$）+f（$\frac{291}{2016}$）+…+f（$\frac{314}{2016}$）+f（$\frac{315}{2016}$）]=-$\frac{13}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题．