Question

18．已知直线l：y=k（x+2）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（-2，0），推导出|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．

解答 解：设抛物线C：y²=8x的准线为l：x=-2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（-2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|AM|=2|BN|，
得点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为B（1，2$\sqrt{2}$），
把B（1，2$\sqrt{2}$）代入直线l：y=k（x+2）（k＞0），
解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．