Question

9．已知函数f（x）=x-sinx．
（Ⅰ）若直线l与函数y=f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）两点，证明：直线l的斜率k＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax在（0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线斜率k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，根据f（x）递增得到即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，求出$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，从而求出k＞0；
（Ⅱ）问题转化为a＞1-$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）直线l与函数y=f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）两点，
∴k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
∵f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
∴$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，
∴k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＞0，
即直线l的斜率k＞0；
（Ⅱ）不等式f（x）＜ax在（0，$\frac{π}{2}$]上恒成立
?a＞1-$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，则g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xcosx-sinx，则h′（x）=-xsinx＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）＜0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]递减，
∴g（x）≥g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
∴1-g（x）=1-$\frac{sinx}{x}$≤1-$\frac{2}{π}$，
∴a＞$\frac{π-2}{π}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．