Question

14．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，则．$\frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2C}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式化简已知可得$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，由正弦定理与余弦定理得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bca}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2acb}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，解得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=3，由正弦定理即可得解．

解答 解：在斜三角形ABC中，由题设知：$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，可得：$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=\frac{1}{tanC}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，
∴由正弦定理与余弦定理得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bca}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2acb}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，
∴整理解得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=3，
∴由正弦定理可得：$\frac{sin^2A+sin^2B}{sin^2C}$=3．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．