Question

7．设二阶矩阵M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．
（3）求M⁵$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得转换矩阵M，由，则$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，求得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=5y}\end{array}}\right.$，代入直线4x-10y=1方程，即可求得方程M作用下的方程；
（2）令特征多项式f（λ）=0，求得特征值，将特征值代入即可求得特征向量；
（3）由$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2{α_1}+3{α_2}$，则${M^5}[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2×{1^5}[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]+3×{5^5}[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]=[\begin{array}{l}2\\ 3•{5^5}\end{array}]$．

解答 解：（1）由题意可知：变换矩阵M，$M=[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}]$，
设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，则$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&5\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=5y}\end{array}}\right.$
从而$\left\{{\begin{array}{l}{x=x'}\\{y=\frac{1}{5}y'}\end{array}}\right.$代入4x-10y=1得，4x'-2y'-1=0，
∴曲线的方程为4x-2y-1=0．--------------------（4分）
（2）矩阵M的特征多项式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ-1}&0\\ 0&{λ-5}\end{array}}|=（λ-1）（λ-5）$，
由f（λ）=0得，矩阵M的特征值为λ₁=1，λ₂=5．（6分）
当λ₁=1时，对应的一个特征向量${α_1}=[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]$；
当λ₂=5时，对应的一个特征向量${α_2}=[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]$．------------------------（8分）
（3）∵$[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2{α_1}+3{α_2}$，
∴${M^5}[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}]=2×{1^5}[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]+3×{5^5}[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]=[\begin{array}{l}2\\ 3•{5^5}\end{array}]$．-----------------------（10分）

点评 本题考查矩阵的变换，考查矩阵的特征向量及特征向量，矩阵的乘法运算，考查计算能力，属于中档题．