Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+2，则f（a₂₀₁₆）的值为（　　）

• A． 0
• B． 0或1
• C． -1或0
• D． 1

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+2，n=1时，a₁=2a₁+2，解得a₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．利用等比数列的通项公式可得a_n=-2ⁿ．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），f（-x）=-f（x）．于是f（a₂₀₁₆）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（2）=-f（0）．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+2，
∴n=1时，a₁=2a₁+2，解得a₁=-2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+2-（2a_n-1+2），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
∴a_n=-2ⁿ．
∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），f（-x）=-f（x）．
∴f（a₂₀₁₆）=f（-2ⁿ）=-f（2ⁿ）=-f（2）=-f（0）=0．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、函数的周期性与奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．