Question

关于x的不等式(log2x)2+blog2x+c≤0（b，c为实常数）的解集为[2，16]，则关于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法,指、对数不等式的解法

专题：三角函数的图像与性质

分析：令t=log₂x，将不等式转化为一元二次不等式的解集为[1，4]，则1和4为方程的两个根，从而运用韦达定理求得b和c的值，代入不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0，即可求得2^x的取值范围，进而求得x的取值范围．

解答： 解：令t=log₂x，由x∈[2，16]，可得t∈[1，4]，
∴不等式(log2x)2+blog2x+c≤0（b，c为实常数）的解集为[2，16]，等价转化为t²+bt+c≤0的解集为[1，4]，
故1和4为方程t²+bt+c=0的两个根，
∴

1+4=-b 1×4=c

，解得b=-5，c=4，
∴关于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0即为4•2^2x-5•2^x+1≤0，
∴（2^x-1）（4•2^x-1）≤0，解得

1

4

≤2^x≤1，
∴-2≤x≤0，
∴关于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0的解集为[-2，0]．
故答案为：[-2，0]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，要注意与一元二次方程的联系，将不等式解集的端点转化为一元二次方程的根，运用韦达定理进行求解．
本题解题的关键是运用换元法将不等式转化为一元二次不等式，要注意换元以后的取值范围是易错点．本题求解过程中考查了方程的数学思想方法和转化化归的思想方法．属于中档题．