Question

已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
⑴求证：直线平面；
⑵⑵若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

⑴见解析;⑵1

试题分析：方法一:几何法证明求角.
⑴要证直线平面,需要在平面内找到一条与平行的直线.显然不容易找到;故考虑利用面面平行退出线面平行, 取的中点,构造平面,根据 ,∥可证.
⑵要求二面角,方法一:找到二面角的平面角,角的顶点在棱,角的两边在两个半平面内中,并且角的两边与棱垂直.取取的中点,连接就是所求角.
方法二:建立空间直角坐标系,利用向量证明,求角.
试题解析：
⑴证明：取的中点，则，故平面;
又四边形正方形，∴∥，故∥平面;
∴平面平面,
∴平面.
⑵由底面，得底面;
则与平面所成的角为;
∴, ∴和都是边长为正三角形,
取的中点，则，且 .

∴为二面角的平面角;在中　，，
∴
∴二面角的余弦值
方法二：⑴设，因为，，，
∴以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，取的中点，
则各点坐标为：，，，，，;
∴，，∴，∴，∴平面;
⑵由底面及，得与平面所成角的大小为;
∴,∴,，，;
取的中点，则因，∴;
则，且,∴为二面角的平面角;
∵;∴二面角的余弦值