Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.

（1）求证：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角A一PD－B的大小．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线的位置关系、线面垂直、二面角的求法等数学知识，考查几何法和向量法相结合证明线面垂直，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.第一问，利用向量法证明线面垂直，如图，建立直角坐标系，得到，，坐标，通过计算可得，，则，，利用线面垂直的判定得平面；第二问，利用向量法求二面角，计算出平面PAD的法向量和平面PBD的法向量，利用夹角公式求出夹角的余弦值，结合图形判断二面角为锐角，得到二面角的值.
试题解析：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)，又DE＝2PE，∴.(2分)

(1)∵，，，
∴，
.
∴，，又，
∴平面.(8分)
(2)设平面的一个法向量为，
则由得，
令，则．
又，设平面的法向量为，
则由,得，
令，则，
∴，
∴.
又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60°.(13分)