题目内容
16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，若函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0），若对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （-∞，6] | B． | [6，+∞） | C． | （-∞，-4] | D． | [-4，+∞） |
分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$.$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．可得?x1∈[0，1]，f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，由于对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，即可得出．
解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}，0≤x≤\frac{1}{2}\\ \frac{{2{x^3}}}{x+1}，\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}$，当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）∈$[0，\frac{1}{6}]$．
$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）=$\frac{2{x}^{3}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{6{x}^{2}（x+1）-2{x}^{3}}{（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}（2x+3）}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函数f（x）在$（\frac{1}{2}，1]$上单调递增，∴f（x）∈$（\frac{1}{6}，1]$．
∴?x1∈[0，1]，∴f（x1）∈[0，1]．
由于函数g（x）=ax-$\frac{a}{2}$+3（a＞0）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，
若对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，$\frac{1}{2}$]，使得f（x1）=g（x2）成立，
∴[0，1]∈{g（x）|x∈$[0，\frac{1}{2}]$}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=3-\frac{1}{2}a≤0}\\{g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+3≥1}\end{array}\right.$，解得a≥6．
故选：B．
点评 本题考查了函数的单调性与值域、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{11}{2}$ | B． | 18 | C． | $\frac{23}{6}$ | D． | $\frac{9}{2}$ |
如图所示，扇形AOB中，圆心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．