Question

4．定义在R上的连续函数f（x）满足条件：（1）f（x）是奇函数；（2）f（1+x）=f（1-x）；（3）f（x）在（0，1）上单调递增；（4）f（1）=1，则在x∈[-2k，2k]时（k为非零正整数），函数f（x）的图象与x轴的交点的个数是（　　）

• A． 2k-1
• B． 2k
• C． 2k+1
• D． k+1

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴由f（1+x）=f（1-x）得f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4，
在一个周期[-2，2]内，
∵f（1）=1，∴f（-1）=-f（1）=1，
∵f（0）=0，∴f（2）=-f（0）=0，则f（-2）=-f（2）=0，
则在每一个周期（-2，2]内有两个零点，则在[-2k，2k]共有2k+1个零点，
即），函数f（x）的图象与x轴的交点的个数是2k+1，
故选：C．

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及函数零点即方程根的个数的判断，利用函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是解决本题的关键．