Question

14．已知正数数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1²-2a_n+1=a_n²+2a_n．数列{b_n}满足b_n•b_n+1=3ⁿ且b₂=9．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知c_n=2ⁿa_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）化简${a}_{n+1}^{2}$-2a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n可得a_n+1-a_n=2，从而求数列{a_n}的通项公式；由b_n•b_n+1=3ⁿ且b₂=9可得数列{b_n}隔项成等比数列，公比都为3，从而分段写出b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为S_n，利用错位相减法求其前n项和，记数列{b_n}的前n项和为F_n，利用分类讨论与整体思想求其前n项和，从而解得．

解答 解：（I）∵${a}_{n+1}^{2}$-2a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n，
∴（a_n+a_n+1）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
故数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵b_n•b_n+1=3ⁿ且b₂=9，
∴b₁=$\frac{1}{3}$，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=3，
故数列{b_n}隔项成等比数列，公比为3，
故b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{3}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{9•{3}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为S_n，
S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式作差可得，
S_n=-2-2•2²-2•2³-2•2⁴-…-2•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
故S_n=-2-$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6；
记数列{b_n}的前n项和为F_n，
当n为偶数时，
F_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_n-1+b_n）
=（$\frac{1}{3}$+9）•$\frac{1-{3}^{\frac{n}{2}}}{1-3}$=$\frac{14}{3}$•（${3}^{\frac{n}{2}}$-1）；
当n为奇数时，
F_n=F_n-1+b_n=$\frac{14}{3}$•（${3}^{\frac{n-1}{2}}$-1）+$\frac{1}{3}$•${3}^{\frac{n-1}{2}}$=5•${3}^{\frac{n-1}{2}}$-$\frac{14}{3}$；
而T_n=S_n+F_n，
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{（2n-3）•{2}^{n+1}+6+5•{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{14}{3}，n为奇数}\\{（2n-3）•{2}^{n+1}+6+\frac{14}{3}（{3}^{\frac{n}{2}}-1），n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分类讨论的思想方法的应用及错位相减法的应用，同时考查了等比数列与等差数列的判断与性质的应用，属于难题．