Question

14．已知θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sinθ的值；
（2）求cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式即可求出，
（2）根据同角的三角形函数的关系和两角和余弦公式和二倍角公式即可求出．

解答 解：（1）∵θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴（θ-$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{π}{2}$，π），
∵sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=sin（θ-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=sin（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（2）由（1）sinθ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosθ=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（$θ+\frac{π}{3}$）=cosθcos$\frac{π}{3}$-sinθsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}（\sqrt{3}-3）}{10}$
∴cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）=2cos²（$θ+\frac{π}{3}$）-1=$\frac{7-6\sqrt{3}}{5}$

点评 本题考查了同角的三角形函数的关系和两角和正弦，余弦公式和二倍角公式，属于基础题．