Question

（满分12分）设底面边长为的正四棱柱中，与平面 所成角为；点是棱上一点．

（1）求证：正四棱柱是正方体；
（2）若点在棱上滑动，求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的大小．

Answer 1

（1）．证明：见解析；（２）点到平面的最大距离是；（３）.

本试题主要考查了立体几何中正方体概念，和点到面的距离的最值和二面角的求解和运算的综合试题。
（1）利用正四棱柱的性质，加上题目中的边的关系，结合概念得到。
（2）对于点到面的距离关键是找到平面的垂线，利用面面垂直的性质定理得到点到面的距离的表示，从而求解最值。
（3）建立合理的空间直角坐标系，然后设出法向量来表示二面角的平面角的大小来解决。
（1）．证明：设正四棱柱的侧棱长为，作与,连接,
，,,
是与所成的角，
，即
所以四棱柱正四棱柱是正方体；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4＇
（２）．设点到平面的距离为，平面，点、到平面的距离相等为．在四面体中，体积，

，设是中点，当也是棱中点时，，有平面，于，于，是一面直线和的公垂线段，是到直线的最短距离，的最小值是
，即点到平面的最大距离是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇
（３）．以为原点，、、分别为、、轴建立平面直角坐标系，由（２）知也是棱中点，则、、、，设平面的法向量，平面的法向量由
；
。

面角的大小是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２＇