Question

5．已知函数f（x）=4x+3sinx，x∈（-1，1），如果f（1-a）+f（1-a²）＜0成立，则实数a的取值范围为（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用导数判断函数的单调性，然后判断函数的奇偶性，化简不等式，得到不等式组求解即可．

解答 解：函数f（x）=4x+3sinx，x∈（-1，1），
满足f（-x）=-（4x+3sinx）=-f（x），函数是奇函数．
f′（x）=4+3cosx，x∈（-1，1），f′（x）＞0．
函数是增函数，
f（1-a）+f（1-a²）＜0成立，
可得f（1-a）＜f（a²-1）成立，
可得$\left\{\begin{array}{l}-1＜1-a\\ 1-a＜{a}^{2}-1\\{a}^{2}-1＜1\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想以及计算能力．