Question

15．若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 首先，求解圆的圆心，然后，将圆心代入直线方程，得到a+b=1，然后，结合不等式求解即可．

解答 解：∵x²+y²-4x-2y-8=0
∴（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圆心为（2，1），
∵直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆的周长，
∴直线ax+2by-2=0过圆x²+y²-4x-2y-8=0的圆心（2，1），
∴2a+2b=2，
∴a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=1+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$+4
=5+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{b}{a}}$+5=9，
（当且仅当2a=b时等号成立），
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题重点考查了圆的一般式方程、圆的性质、基本不等式及其应用等知识，属于中档题．