Question

已知函数y=a x2-3x+3（a＞0，且a≠1）在[0，2]上有最小值8，求实数a的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=x²-3x+3，则y=a^t．由x∈[0，2]，求得函数t的值域，再根据函数y在[0，2]上有最小值8，分类讨论求得a的值．

解答： 解：令t=x²-3x+3=(x-

3

2

)2+

3

4

，则y=a^t．
∵x∈[0，2]，∴当x=

3

2

时，函数t取得最小值为

3

4

，当x=0时，函数t取得最大值为3．
若a＞1，则由题意可得a

3

4

=8，求得a=16；
若0＜a＜1，则由题意可得 a³=8，求得a=2（舍去）．
综上可得，a=16．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．