Question

13．已知数列{a_n}满足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4．
（I）证明数列{a_n+4}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4，a_n+1+4=2（a_n+4），即可得出．
（II）由（I）可得：a_n+4=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-4，当n=1时，a₁=-2；n≥2时，a_n≥0，可得n≥2时，S_n=-a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答 （I）证明：∵数列{a_n}满足a_l=-2，a_n+1=2a_n+4，∴a_n+1+4=2（a_n+4），∴数列{a_n+4}是等比数列，公比与首项为2．
（II）解：由（I）可得：a_n+4=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-4，∴当n=1时，a₁=-2；n≥2时，a_n≥0，
∴n≥2时，S_n=-a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+（2²-4）+（2³-4）+…+（2ⁿ-4）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4（n-1）=2ⁿ⁺¹-4n+2．n=1时也成立．
∴S_n=2ⁿ⁺¹-4n+2．n∈N^*．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．