Question

设函数f（x）=

sinθ

3

x³+

3 cosθ

2

x²，其中θ∈[0，

π

2

]，则导数f′（1）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：求出函数的导数，即可判断f′（1）的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

sinθ

3

x³+

3 cosθ

2

x²，
∴f’（x）=3×

sinθ

3

x²+2×

3 cosθ

2

x=sinθx²+

3

cosθx，
∴f’（1）=sinθ+

3

cosθ=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴1≤2sin（θ+

π

3

）≤2，
即f′（1）的取值范围是[1，2]，
故答案为：[1，2]．

点评：本题主要考查导数值的计算，利用导数公式求出函数的导数，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键，综合考查学生的计算能力．