Question

在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=105°，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得∠CDE=60°，且DE将△ABC的面积两等分，则(

CD

AC

)2=

 

．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：计算题,解三角形

分析：设AC=x，CD=y，则由正弦定理可得AB=

sin45°

sin105°

•x，DE=

sin45°

sin75°

•y，根据DE将△ABC的面积两等分，可得

1

2

y•

sin45°

sin75°

•y•sin60°=

1

2

•

1

2

x•

sin45°

sin105°

•x•sin30°，即可得出结论．

解答： 解：设AC=x，CD=y，则
由正弦定理可得

x

sin105°

=

AB

sin45°

，∴AB=

sin45°

sin105°

•x，
同理DE=

sin45°

sin75°

•y，
∵DE将△ABC的面积两等分，
∴

1

2

y•

sin45°

sin75°

•y•sin60°=

1

2

•

1

2

x•

sin45°

sin105°

•x•sin30°，
∴

y2

x2

=

1

2sin60°

•

1

2

=

3

6

．
故答案为：

3

6

．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键．