Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（Ⅰ） 求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（Ⅱ）连接BD，由已知中底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD为等边三角形，又由PA⊥平面ABCD，F是AB的中点，结合线面垂直的性质，及等边三角形“三线合一”可得：DF⊥AB，PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅲ）建立坐标系，求出平面PAB的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．…1分
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME平行且等于

1

2

CD．
∵F是AB中点且ABCD是菱形，
∴AB平行且等于CD，
∴ME平行且等于

1

2

AB．
∴ME平行且等于FB
∴四边形MEBF是平行四边形．从而 BE∥MF．…3分
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．…9分
（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（

3

，3，0），D（0，2，0），F（

3

2

，

1

2

，0）…10分
由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，∴

DF

=(

3

2

，-

3

2

，0)是平面PAB的一个法向量 …11分
设平面PCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)
由

n

•

DC

=

3

x+y=0，且由

n

•

PD

=2y-z=0
在以上二式中令y=

3

，则得x=-1，z=2

3

，
∴

n

=(-1，

3

，2

3

)．…12分
设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则cosθ=

|- 3 2 - 3 3 3 |

3 4 + 9 4 • 1+3+12

=

1

2

故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．…14分．

点评：本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．