Question

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，记M_i表示实数a₁，a₂，…，a_i中最大的数，m_i表示实数a_i，a_i+1，…，a_n中最小的数，d_i=M_i-m_i，其中i=1，2，…n．定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：d₁，d₂，…，d_n．
（1）已知数列A：2，0，4，-1，1和数列B：b_k=3k，k=1，2，…，n，写出数列T（A）和T（B）；
（2）已知数列A：a₁，a₂，a₃中任意两个项互不相等，证明：数列T（A）：d₁，d₂，d₃中必有两个相邻的项相等；
（3）证明：对于有穷数列A，T（A）与A是相同的数列的充要条件是a_k=0，k=1，2，…，n．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：推理和证明

分析：对第（1）问，令i=1，2，3，4，5时，分别求出d_i，即得数列T（A），同理可得数列T（B）；
对第（2）问，根据a₁，a₂，a₃的大小关系，分4种情况讨论，求出d₁与d₂，或d₂与d₃即可；
对第（3）问，充分性：根据a_k=0，求出M_k，m_k，从而得d_k，再比较a_k与d_k即可．
必要性：首先证明A中的各项都是非负的，再用反证法证明A中的各项都是0，即假设a₁，a₂，…，a_n中有一个正数，设为a_k，于是a_k≤M_l=0，得出矛盾，从而达到证明的目的．

解答：解答：（1）由T（A）的定义可知：
i=1时，d₁=M₁-m₁=a₁-a₄=2-（-1）=3；
i=2时，d₂=M₂-m₂=a₁-a₄=3；
i=3时，d₃=M₃-m₃=a₃-a₄=4-（-1）=5；
i=4时，d₄=M₄-m₄=a₃-a₄=5；
i=5时，d₅=M₅-m₅=a₃-a₅=4-1=3．
即得数列T（A）：3，3，5，5，3．
同理，得数列T（B）：0，0，…，0，即通项为d_k=0，k=1，2，…，n．
（2）A：a₁，a₂，a₃中3项的大小关系有以下4种情况：
当a₁＜a₂＜a₃时，由定义易得T（A）：0，0，0，命题得证；    
当a₁＞a₂＞a₃时，由定义易得T（A）：a₁-a₃，a₁-a₃，a₁-a₃，命题得证；
当a₁＜a₂＞a₃时，由定义得d₂=a₂-a₃=d₃，命题得证；     
当a₁＞a₂＜a₃时，由定义得d₁=a₁-a₂=d₂，命题得证．  
综上可知：数列T（A）：d₁，d₂，d₃中必有两个相邻的项相等．
（3）先证充分性：∵a_k=0，k=1，2，…，n，∴M_k=0，m_k=0，k=1，2，…，n，
所以d_k=a_k，k=1，2，…，n，即T（A）=A．　　　　　　　
再证必要性：∵m_k≤a_k≤M_k∴d_k=M_k-m_k≥0，k=1，2，…，n，又T（A）=A，则a_k=d_k≥0．
假设a₁，a₂，…，a_n中有一个正数，设a_k为a₁，a₂，…，a_n中从左至右的第1个正数，
则由定义知：M_k=a_k，从而a_k=d_k=M_k-m_k⇒m_k=0，
这说明在a_k+1，a_k+2，…，a_n中最小值为0，不妨设a_l=0（k≤l≤n），
由m_l定义知：m_l=0，则d_l=M_l-m_l=a_l，得M_l=0，由M_l的定义有：a_k≤M_l=0，这与a_k＞0矛盾．
故a_k=0，k=1，2，…，n．
综上知，对于有穷数列A，T（A）与A是相同的数列的充要条件是a_k=0，k=1，2，…，n．

点评：本题考查了学生对新问题的分析与综合能力，以及对知识的迁移能力，对思维的要求较高，难度较大，关键是弄懂题中各符号的含义，并善于例举和分类讨论，需要缜密的逻辑推理能力才能作出完整的解答．