Question

已知g（x）=-log_a

1-x

mx-1

是奇函数（其中a＞1）
（1）求m的值．
（2）判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并简要说明理由．
（3）当x∈（r，a-1）时，若g（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数g（x）是奇函数，可得出g（-x）=-g（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数大于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可；
（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，g（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．

解答： 解：（1）因为g（x）=-log_a

1-x

mx-1

=log_a

1-mx

1-x

是奇函数；
即1-m²x²=1-x²对定义域内的一切x都成立，
所以m²=1，m=±1，
由于

1-mx

1-x

＞0，所以m=-1；
所以g（x）=log_a

1+x

x-1

，定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）当a＞1时，g（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

2

x1-1

+1）-log_a（

2

x2-1

+1）
由于x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，所以

2

x1-1

+1＞

2

x2-1

+1，得g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减；
同理可得，当0＜a＜1时，g（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）因为x∈（r，a-2），定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-1，即a＞2，
所以g（x）在（r，a-1）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以g（a-2）=1，
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，
所以a=2+

3

且r=1，
2°当r＜1时，则（r，a-1）?（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为g（x）在（r，a-1）上为增函数，
所以g（r）=1=a，与0＜a＜1矛盾．
所以a=2+

3

且r=1．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性的运用以及对数的运算，属于中档题．