Question

9．已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），函数f（x）在区间（1，e^a）上有两个零点，则a的取值范围是（2e，+∞）（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 然后利用导数研究函数f（x）在区间（1，e^a）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）的零点情况．

解答 解：f（x）=x²-alnx，（a＞0，x＞0），
f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2a}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2a}}{2}）}{x}$，
因为当0＜x＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$时，fˊ（x）＜0，当x＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$时，fˊ（x）＞0．
又$\frac{a}{2}$＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＜e^a，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$]上是减函数，在[$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞）是增函数．
所以f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$），
若函数f（x）在区间（1，e^a）上有两个零点
则$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$）＜0，即a＞2e时，e^a＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＞$\sqrt{e}$，
由于f（1）=1＞0，f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$）＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点，
综上所述，当a＞2e时，函数f（x）有两个零点，
故答案为：（2e，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．